Fonctionnement du cyclotron et du spectromètre de masse

Malgré des idées fort contestables, les alchimistes avaient vu juste sur un point : le plomb, ou n’importe quel autre élément, est transmutable en or, moyennant une certaine technologie : le cyclotron.

Bien différent de la pierre philosophale, graal alchimique repris dans Harry Poter, le cyclotron est surtout utilisé pour la recherche en physique et la production de radioisotopes en médecine nucléaire, ainsi que dans la recherche biomédicale où ils servent de traceur. Etant donné le coût qu’engendrerait la production massive d’or artificiel (rendement nul : autant l’extraire dans des mines, cela coûte moins cher et pollue moins l’environnement !), le cyclotron n’a guère d’autres applications que celles citées.

A l’heure actuel, le plus grand cyclotron du monde est situé à la frontière franco-suisse : c’est le LHC, Large Hadron Collider, ou « Grand Colisionneur de Hadrons ». Sa circonférence est de 27 kilomètres !

Il s’agit ici d’aborder son fonctionnement, relativement simple puisqu’il est compréhensible dès la Terminale S, moyennant un surcroît mathématique : les notions (fort simples) de déterminant et produit vectoriel.

Ainsi donc, nous souhaitons accélérer une particule (beaucoup plus qu’une en fait…). Petit problème : étant donnée la taille, il ne suffit pas de lui taper dessus pour lui donner une impulsion ! En revanche, on peut l’accélérer par un champ magnétique, c’est-à-dire par le pouvoir des aimants.

En effet, une particule chargée plongée dans un champ magnétique est soumise à une force, dite de Lorentz. Son expression vectorielle est la suivante :  q\vec {v}  \wedge \vec {B}  = \vec {F}  , où \vec B est le champ (de pseudovecteurs) magnétique, q la charge de la particule, et l’on reconnaît le vecteur-vitesse lui étant associée…

Par conséquent (définition du produit vectoriel), le vecteur-force de Lorentz est orthogonal au champ magnétique (c’est-à-dire à tous les vecteurs poussant dans ce champ !) et au vecteur-vitesse.

Bien entendu, le champ magnétique appliqué ne doit pas être colinéaire au vecteur-vitesse associé à une particule, auquel cas, par définition du produit vectoriel, la force de Lorentz serait nulle. Or, pour  accélérer une particule, il faut une certaine force magnétique !

Les particules baignent dans un demi-cylindre appelé dee (on les y injecte dedans, au moyen d’un canon à électrons, par exemple), où le champ magnétique appliqué est perpendiculaire au plan de la trajectoire. Les coordonnées de ce champ sont :

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ B \end{pmatrix}

… à savoir qu’il n’a de composante que selon l’axe habituel \overrightarrow{Oz}.

Puisque le champ magnétique est perpendiculaire au plan de la trajectoire (nous verrons qu’il s’agit d’un cercle/spirale), \vec v_0\,, vecteur-vitesse initiale (associé à une particule), contenu dans ledit plan de la trajectoire, est également orthogonal à \vec B.

Dans un repère judicieusement choisi, la force de Lorentz a pour coordonnées :

q \vec v \wedge \vec B = \begin{pmatrix} qB\dot y  \\ -qB \dot x  \\ 0 \end{pmatrix}

Cela découle des coordonnées du produit vectoriel, s’exprimant à partir du déterminant des deux vecteurs autres que celui dont on cherche les coordonnées (attention à la deuxième coordonnée, laquelle correspond à l’opposé du déterminant) :

$\displaystyle \mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=<br /><br />
\vec{u}\cdot<br /><br />
(\vec{v}\wedge\vec{w})\;.<br /><br />
$

Retour à la physique ! D’après le principe fondamental de la dynamique projeté sur deux axes (on rappelle que les deux points expriment la dérivée seconde de la position par rapport au temps, soit l’accélération) :

\left\{\begin{matrix} m \ddot x =qB \dot y  \\ m \ddot y = -qB \dot x \end{matrix}\right.

ce qui s’écrit encore :

\left\{\begin{matrix} \ddot x -\omega_0\dot y  =0 \\ \ddot y + \omega_0\dot x=0 \end{matrix}\right.

où \omega_0=\frac{qB}{m} est appelée pulsation-cyclotron.

On introduit alors, de même qu’en électronique (voir Histoire d’impédance), la notation complexe, pour éviter d’avoir affaire à une équation différentielle du second degré (voir ce lien http://www.chimix.com/an10/sup10/min01.html).

Posons \tilde V=\dot x + i\dot y.

On a alors \dot \tilde V + i\omega_0\tilde V=0.

En intégrant :

\tilde V(t) =v_0 e^{-i\omega_0t}=v_0cos(\omega_0t) - v_0isin(\omega_0t)

En revenant à la notation réelle, puis en intégrant eu égard aux conditions initiales, il vient :

\left\{\begin{matrix} \dot x(t) =v_0cos(\omega_0t) \\ \dot y(t) =-v_0sin(\omega_0t)\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x(t) =\frac{v_0}{\omega_0}sin(\omega_0t) \\ y(t) =\frac{v_0}{\omega_0}cos(\omega_0t) -\frac{mv_0}{qB}\end{matrix}\right.</p><br />
<p>

Il s’agit de l’équation paramétrique d’un cercle de rayon :

R_c=\frac{mv_0}{\left|qB\right|}

A chaque passage entre les deux demi-disques (dees), la particule est accélérée par le champ électrique, ou plus précisément par une force électrique proportionnelle à sa charge :

\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}

Rappelons qu’une particule baignant dans un champ électromagnétique (composé d’un champ électrique, \vec{E}, et magnétique, \vec{B}) est soumise d’une part à la force électrique (premier terme), de l’autre à la force magnétique (de Lorentz, deuxième terme) :

<br /><br />
\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E} + q \boldsymbol{v} \wedge \boldsymbol{B}<br /><br />

D’où la perturbation d’une boussole induite par le passage d’un courant électrique dans un fil (voir l’expérience de Hans Christian Ørsted). Il y a donc couplage entre la force électrique et la force magnétique au sein de la force électromagnétique (ici exprimée algébriquement).

La force magnétique dévie les particules ; la force électrique les dévie. La pulsation-cyclotron correspond d’ailleurs à leur vitesse angulaire…

Le nom de « dees » provient que les demi-disques ont la forme d’un D !

Deux dees forment un cyclotron.

Dans les dees, le vide est (bien entendu !) fait. Si les particules perdent de l’énergie, elles suivent une spirale intérieure. Si l’appareil est capable d’augmenter leur énergie elles suivront une spirale en expansion. Les particules effectuent des cycles, d’où le nom de cyclotron !

Une tension alternative de haute fréquence est appliquée aux électrodes en D, ce qui accélère les particules à chacun de leurs passages de l’une à l’autre.

L’énergie cinétique maximale d’une particule accélérée vaut, d’après la vitesse angulaire :

C’est-à-dire que plus le rayon de la trajectoire (R) est grand, plus la particule acquiert une énergie cinétique importante (cette formule n’étant valable qu’à des vitesses faibles en comparaison de celle la lumière, mais l’énergie cinétique en physique classique n’est autre qu’un développement limité, donc une approximation de l’énergie cinétique relativiste). En pratique, les cyclotrons disposent d’une fenêtre d’éjection permettant de bombarder une cible, par exemple un noyau atomique : cela permet de générer des éléments artificiels superlourds !

A des vitesses proches de celle de la lumière, le cyclotron perd de son efficacité en raison de variations massiques due à la Relativité. Un synchrocylotron prend alors le relais : il est muni d’un champ électrique changeant afin de compenser le gain de masse des particules relativistes. Enfin, le synchroton est un accélérateur géant :

Tronçon du LHC : il est toujours bon de prévoir un extincteur pour une machine théoriquement capable de créer des trous noirs…

Lawrence Ernest Orlando (Prix Nobel de physique 1939) construisit le premier cyclotron expérimental en 1929, mais ce n’est qu’en 1931 que l’appareil fut vraiment opérationnel. Il accéléra des protons d’énergie 13 keV.

Bien sûr, des mastodontes comme le LHC font intervenir d’autres technologies, tels les électroaimants supraconducteur : étant donné l’énergie faramineuse mise en jeu, il s’agit d’éviter l’échauffement des composants induit par l’effet Joule, qui provoquerait un incendie, pour ne pas dire un feu d’artifices. On n’utilise donc pas un simple aimant, mais un aimant supraconducteur : grâce au phénomène de supraconductivité, absence de résistance électrique se produisant à des températures proches du zéro absolu, on évite le pire… Le principe de base reste cependant le même !

Spectromètrie de masse

Le spectromètre de masse, appareil permettant de déterminer la composition d’un échantillon de manière bien plus fine que l’analyse chimique, est basé sur le même principe : dévier une particule. Le spectromètre de masse comporte toutefois un système d’ionisation : la force de Lorentz ne s’applique qu’aux particules chargées, donc il faut « charger » les atomes pour les séparer, donc les différencier !

L’ion créé (c’est le plus simple, il suffit de soumettre la matière à des rayonnements ionisants) est éjecté dans un milieu ou règne un champ magnétique uniforme. Le spectromètre mesure les distances d’impact lorsque la particule ionisée a effectué un demi-cercle. La distance au point d’origine correspond au diamètre, c’est-à-dire au double du rayon… donné par la fomule :

R_c=\frac{mv_0}{\left|qB\right|}

Connaissant le rayon, l’intensité du champ magnétique appliqué, la vitesse d’une particule en entrée, et la charge de la particule, sa masse s’en déduit ! Et connaissant la masse, le tableau périodique donne la nature de l’élément chimique….

Quand bien-même la chimie ne serait pas assez puissante, voilà comment la composition du Coca-Cola, de la Bénédictine, ou encore de la liqueur chartreuse ne peuvent plus rester secrètes ! D’autant que les applications du spectromètre son innombrables : de la géologie, à la paléontologie, en passant par la biologie, le spectromètre détecte d’infimes quantités de matière, là où les réactifs parviendraient difficilement à rentrer dans une micropipette… Mais surtout, il s’agit d’une méthode d’analyse non destructive : dans le cas d’un échantillon microscopique, un test chimique risquerait d’éliminer un composant intéressant par réaction !

Un logiciel réalisé par l’Académie de Nantes permet de simuler un cyclotron : http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/1170758584968/0/fiche___ressourcepedagogique/%26RH%3D1161013006328

À propos de Alexandre Cohen

Etudiant en médecine et journaliste en herbe. Suivez-moi sur Twitter !

Publié le 24 mai 2012, dans Physique, et tagué , , , , . Bookmarquez ce permalien. Poster un commentaire.

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